معلومات

ما هي قوانين دي مورغان؟

ما هي قوانين دي مورغان؟



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

الإحصاء الرياضي يتطلب في بعض الأحيان استخدام نظرية المجموعات. قوانين دي مورغان عبارة عن بيانين يصفان التفاعلات بين عمليات نظرية المجموعات المختلفة. القوانين هي أن لأي مجموعتين ا و ب:

  1. (ا ∩ ب)C = اC U بC.
  2. (ا U ب)C = اCبC.

بعد توضيح معنى كل عبارة من هذه العبارات ، سننظر في مثال على كل عبارة من هذه العبارات قيد الاستخدام.

وضع نظرية العمليات

لفهم ما تقوله قوانين دي مورغان ، يجب أن نتذكر بعض التعاريف لعمليات نظرية المجموعات. على وجه التحديد ، يجب أن نعرف عن الاتحاد وتقاطع مجموعتين ومكمل للمجموعة.

تتعلق قوانين دي مورغان بتفاعل الاتحاد والتقاطع والتكامل. أذكر ما يلي:

  • تقاطع المجموعات ا و ب يتكون من جميع العناصر المشتركة بين الاثنين ا و ب. يشار إلى تقاطع من قبل ا ∩ ب.
  • اتحاد المجموعات ا و ب يتكون من جميع العناصر التي في أي منهما ا أو ب، بما في ذلك العناصر في كلا المجموعتين. يُشار إلى التقاطع بواسطة A U B.
  • تكملة للمجموعة ا يتكون من جميع العناصر التي ليست عناصر ا. يشار إلى هذا تكملة من قبل أC.

والآن بعد أن استرجعنا هذه العمليات الأولية ، سنرى بيان قوانين دي مورغان. لكل زوج من مجموعات ا و ب نحن لدينا:

  1. (ا ∩ ب)C = اC U بC
  2. (ا U ب)C = اC ∩ بC

يمكن توضيح هذين البيانين باستخدام مخططات Venn. كما هو موضح أدناه ، يمكننا التوضيح باستخدام مثال. لإثبات أن هذه العبارات صحيحة ، يجب أن نثبتها باستخدام تعريفات عمليات نظرية المجموعة.

مثال على قوانين دي مورغان

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة الأرقام الحقيقية من 0 إلى 5. نكتب هذا في التدوين الفاصل 0 ، 5. ضمن هذه المجموعة لدينا ا = 1 و 3 و ب = 2 ، 4. علاوة على ذلك ، بعد تطبيق عملياتنا الأولية لدينا:

  • المكمل اC = 0 ، 1) U (3 ، 5)
  • المكمل بC = 0 ، 2) U (4 ، 5)
  • الاتحاد ا U ب = 1, 4
  • التقاطع ا ∩ ب = 2, 3

نبدأ بحساب الاتحاداC U بC. نرى أن اتحاد 0 ، 1) U (3 ، 5 مع 0 ، 2) U (4 ، 5 هو 0 ، 2) U (3 ، 5. التقاطع ا ∩ ب هي 2 ، 3. نرى أن تكملة هذه المجموعة 2 ، 3 هي أيضا 0 ، 2) U (3 ، 5. وبهذه الطريقة ، أثبتنا أن اC U بC = (ا ∩ ب)C.

الآن نرى تقاطع 0 ، 1) U (3 ، 5 مع 0 ، 2) U (4 ، 5 هو 0 ، 1) U (4 ، 5. ونرى أيضًا أن مكمل 1 ، 4 هو أيضًا 0 ، 1) يو (4 ، 5. وبهذه الطريقة أثبتنا ذلك اC ∩ بC = (ا U ب)C.

تسمية قوانين دي مورغان

طوال تاريخ المنطق ، أدلى أشخاص مثل أرسطو وويليام أوف أوكهام ببيانات تعادل قوانين دي مورغان.

تمت تسمية قوانين De Morgan على اسم Augustus De Morgan ، الذي عاش في الفترة من 1806-1871. على الرغم من أنه لم يكتشف هذه القوانين ، إلا أنه كان أول من قدم هذه البيانات رسميًا باستخدام صيغة رياضية في المنطق الإفتراضي.


شاهد الفيديو: DE Morgan's theoremنظرية ديمورجان مع أمثلة للحل (أغسطس 2022).